Przejdź do Taraki "dużej" - na szeroki ekran
zdjęcie Autora

2019-06-16

Wojciech Jóźwiak

Aspekty i liczby, ciągi Fareya

Aspekty i punkty harmoniczne są w istocie liczbami: liczbami wymiernymi. Po angielsku z łaciny liczby te nazywają się bardziej dosadnie: rational numbers (numeri rationales) – czyli, jakby: proporcjonalne; chociaż jednocześnie znaczy to: „zgodne z rozumem”. Liczba wymierna to ułamek, którego nie można już skrócić. Liczby wymierne dołączono jako dodatek do liczb całkowitych po to, żeby całkowite móc do woli dzielić (jedną przez drugą) i przy tym nie wypaść z bruzdy (de-lirare, skąd delirium) czyli poza ich zbiór. Bo np. gdy chcesz podzielić 2 przez 5, to nie ma liczby całkowitej, która byłaby wynikiem, ale liczba wymierna oczywiście jest, oto ona: 2/5.

Wśród liczb wymiernych najbardziej nas interesują te, które leżą pomiędzy 0 a 1. Inne można uważać za sumę: mantysy, czyli właśnie liczby między 0 a 1, i jakiejś liczby całkowitej. Np. dzisiejszy dzień to 167/365 + 2019. 167/365 nie skraca się, ponieważ 365 dzieli się przez 5 i 73 (liczba pierwsza), a 167 najjawniej przez żadną z nich. Od tego miejsca skupiamy uwagę na „racjonałach” od 0 do 1.

Każdy aspekt odpowiada pewnej liczbie wymiernej i to od 0 do 1. (Astrologowie wiedzą, co to aspekt, nie-astrologów odsyłam do podręczników lub wikipedii.) Koniunkcja odpowiada liczbie 0 (lub 0/1), opozycja to 1/2, trygon 1/3 lub 2/3, …, tryoktyl 135° = 3/8, kwinkunks 150° = 5/12. Ogólnie każda liczba wymierna może „zagrać” aspekt.

Tak samo punkty harmoniczne. Zero Barana to 0 (lub 0/1), Zero Lwa to 1/3, punkt harmoniczny ognisty siedmiokrotny 8°34' Wodnika to 6/7, punkt 7-krotny ziemny 17°09' Panny to 13/28.

Liczb wymiernych jest bardzo (bardzo!) dużo. Można ich dowolnie wiele upchnąć w dowolnie małym przedziale osi liczbowych, całkiem jak diabłów na końcu igły. A jednak można je policzyć. To znaczy, uporządkować po kolei, jakby nawlec na sznurek. Jak? Bierzemy nieskończenie wielką kartkę papieru w kratkę – ale mającą jeden róg, lewy górny, od którego zaczynamy pracę, i w każdej kratce wpisujemy liczbę K/W, gdzie W jest numerem wiersza, a K numerem kolumny. Następnie bierzemy (nieskończony) flamaster i nim zamazujemy te pary K, W, które można skrócić, gdyż one już w innym miejscu są zapisane we właściwej postaci nieskracalnej. Po czym liczymy je – „pierwsza liczba, druga liczba, trzecia liczba, czwarta...” – zaczynając od lewego górnego rogu wzdłuż kolejnych coraz dłuższych przekątnych. Liczymy, czyli przyporządkowujemy wzajemnie jednoznacznie do liczb naturalnych (1, 2, 3 itd.) – z czego wynika, że jest ich tyle samo, co liczb naturalnych. Chociaż, z drugiej strony, leżą nieskończenie gęsto na osi i jedna od drugiej może być nieskończenie (czyli dowolnie) blisko.

John Farey, angielski polihistor, ponad 200 lat temu znalazł ciekawszy sposób na ułożenie liczb wymiernych w rządki: wynalazł ciągi Fareya. W ciągu takim są liczby k/n, gdzie n nie jest większe niż pewne zadane N. Liczby te są uporządkowane rosnąco.

Najprostszy (chyba) jest ciąg Fareya dla N=2, oto:
0/1, 1/2, 1/1

Tak samo prosty dla N=3:
0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1

Co to ma wspólnego z astrologią? To, że wartości tych ułamków zamieniamy na stopnie i widzimy w nich kąty. Są to „okrągłe kąty”, które w astrologii są znaczące, ponieważ służą jako aspekty, które sprzęgają planety w większe znaczące układy. Tak wyglądają ciągi Fareya w astrologicznej interpretacji:
dla N = 2:


nrułamekwartośćkątzodiak
10/10.0000000.00Bar 0°
21/20.500000180.00Wag 0°
31/11.000000360.00Bar 0°

Dla N = 3:

nrułamekwartośćkątzodiak
10/10.0000000.00Bar 0°
21/30.333333120.00Lew 0°
31/20.500000180.00Wag 0°
42/30.666667240.00Str 0°
51/11.000000360.00Bar 0°

N = 4:

nrułamekwartośćkątzodiak
10/10.0000000.00Bar 0°
21/40.25000090.00Rak 0°
31/30.333333120.00Lew 0°
41/20.500000180.00Wag 0°
52/30.666667240.00Str 0°
63/40.750000270.00Koz 0°
71/11.000000360.00Bar 0°

Widzimy, że w tych tabelkach pokazują się nam zestawy znaków zodiaku – lub raczej zestawy punktów harmonicznych, od których zaczynają się znaki. Czy jest tak, że te znaki, które występują w tabelkach (w ciągach Fareya) o mniejszym rzędzie N, są jakoś ważniejsze? Być może.
Przy rzędzie 2 jest tylko Baran i Waga, a kąt 180 stopni czytamy (interpretujemy) jako opozycję.
Przy rzędzie 3 dochodzą Lew i Strzelec i aspekt trygon.
Przy rzędzie 4 pojawiają się Rak i Koziorożec, i z aspektów kwadratura.
Czy przy którymś wyższym N ten schemat odtworzy nam cały zodiak i wszystkie popularne aspekty? Oto dla rzędu N = 5:

nrułamekwartośćkątzodiak
10/10.0000000.00Bar 0°
21/50.20000072.00Bli 12°
31/40.25000090.00Rak 0°
41/30.333333120.00Lew 0°
52/50.400000144.00Lew 24°
61/20.500000180.00Wag 0°
73/50.600000216.00Sko 6°
82/30.666667240.00Str 0°
93/40.750000270.00Koz 0°
104/50.800000288.00Koz 18°
111/11.000000360.00Bar 0°

A więc nie! Bo weszły punkty harmoniczne pięciokrotne ogniste, wszystkie cztery! A z aspektów pojawiły się kwintyle 72° i 288° i bikwintyle 144° i 216°. (Te dwie liczby oznaczają aspekty „prawy” i „lewy”.)

Cały zodiak, a raczej punkty początkowe wszystkich znaków pojawią się dopiero przy N = 12. Ale wtedy tabelka, czyli ciąg Fareya, zawierać będzie również punkty i aspekty 7-krotne, 8-krotne, 9, 10 i 11-krotne. Być może należałoby uwzględniać je w analizach horoskopów?

Do tego warto byłoby oswoić się z tymi punktami i kątami-aspektami. Przygotowałem mini-program, który wyświetla tabelki w rodzaju tych powyższych – z niego zostały one wzięte. Adres: https://www.astroakademia.pl/n12/robo/farey.php?N=5
Zamiast N=5, jak w powyższym przykładzie, wpisujesz inną liczbę w pasku adresu – i to jest rząd ciągu Fareya.

(Żeby za bardzo nie męczyć serwera, nałożyłem ograniczenie: N nie może być większe niż 64. Ani mniejsze niż 2.)

Kolejne ułamki w ciągu są liczone wg rekurencji podanej w książce Grahama, Knutha, Patashnika „Matematyka konkretna” na s. 177.

Ciekawy przypadek jest dla N=8. Wtedy ciąg zawiera 22 pozycje! (Tabelka ma wprawdzie 23 wiersze, ale ostatni jest zawsze równy pierwszemu – w końcu zajmujemy się kołem.) Liczba 22 ezoterykom kojarzy się z liczbą atutowych kart – wielkich arkanów – tarota. Warto by przyjrzeć się odpowiedni punktom: może zgadzają się, według jakiegoś klucza, z tamtymi kartami?

Jednak żaden z ciągów Fareya nie liczy ani 56 ani 78 pozycji, więc pełnej talii tarota nie opiszą.

Najciekawsze rzeczy dzieją się jednak, kiedy ciąg Fareya jest długi, dla dużych liczb N. Powstaje pytanie: jak gęsto rozkładają się te „fareyowskie” ułamki (liczby wymierne) na swoim macierzystym odcinku od 0 do 1? Albo: jak gęsto rozkładają się na kole (okręgu) odpowiednie kąty-aspekty?

Problemem tym kiedyś zajął się prof. Arkadiusz Jadczyk. Pisze o tym w odcinku swojego bloga pt. „Złoty środek” z 30 października 2008. Pisze tam:

„...podzieliłem odcinek pomiędzy zerem a jedynką na 600 przedziałów i zliczyłem procent populacji (131071 liczb) mieszczący się w danym przedziale. Zrobiłem grafik łącząc kolejne punkty linią łamaną. Myślicie może, że wyszła znana wszystkim ze statystyk krzywa dzwonowa? Maksimum w środku? Tak myślicie? No to mamy niespodziankę:”

I zamieszcza wykres, który należałoby nazwać „krzywą Jadczyka-Fareya”. Krzywa ta jest niezwykła, ponieważ pokazuje, że duże aspekty, czyli te o niskich rzędach, jak kwadratura, trygon, opozycja – a przede wszystkim koniunkcja! – odpychają (jakby), lub wypierają, te o wyższych rzędach czyli te mniej ważne. Podobnie jak to robią wielkie ciała niebieskie, planety, które wyczyszczają swoje orbity i ich pobliże z asteroid, komet i innego kosmicznego gruzu. Oto ten wykres:

http://media.sott.net/arkblog/myfarey17.jpg
(Obraz jest widoczny z adresu http://media.sott.net/arkblog/myfarey17.jpg.)

Krzywa Jadczyka-Fareya tylko pozornie jest taka gładka: bo naprawdę jest kapryśnym fraktalem, który na moje matematyczne oko, w żadnym punkcie nie ma pochodnych. Jest więc „doskonałą szczotką”.

Wojciech Jóźwiak

Komentarze: 2

[foto]1. tak na marginesie • autor: nabializm /Maciej Nabiałek (2019-06-17 15:47:09)

Polecam odwiedzić stronę gdzie znajdziemy również odnośnik do kalkulatora ułamków 

[foto]2. www.maths.surrey.ac.uk • autor: Wojciech Jóźwiak (2019-06-17 18:15:41)

www.maths.surrey.ac.uk: lubię takie strony. Dzięki!